1.2 Correlation Does Not Imply Causation#

这是一个很关键的思想: $相关性 \neq 因果性$. 有个”Nicolas Cage and Pool Drownings”的例子, 说的是演员尼古拉斯凯奇和发生游泳溺水次数的相关性.

有人发现, 你用这个哥们儿出演电影次数和有人游泳溺水次数算线性相关性, 结果可能显示高度相关, 这明显是很离谱的事情. 显然他们并没有什么因果性.

再看一个例子, 人们发现一个事情, 那些晚上很晚回来并且穿着鞋子睡觉的人, 第二天早上醒来会头痛. 事实确实发生了, 人们会说他们是相关的. 但是实际隐藏了一个条件, 这些晚上穿着鞋子睡觉的人, 大概率是喝酒喝醉了回来倒头就睡, 第二天头疼也八成是因为喝酒喝的. 我们称背后隐藏的这个条件为 “confounder”.

我们称 confounder 与 研究对象 的关联为 “confounding association” . 如果想单纯探究 “穿鞋睡觉 -> 第二天头疼” 的因果关系, 我们就必须先断掉 confounder 的影响.

2.1.1 Potential Outcomes#

根据前面的分析，实际上针对某个人采取不同的处理方式会产生不同的结果，这是一个潜在的结论.我们在之后的讨论中, 称这个潜在的输出为 $\mathit {Y}$ .

在上边的例子中, $\mathit {Y} = 1$ 表示高兴, $\mathit {Y} = 0$ 为不高兴.

用 $\mathit {T}$ 表示 treatment 这个随机变量. $\mathit {T} = 1$ 表示接受狗子, $\mathit {T} = 0$ 表示不接受.

使用 $\mathit {Y(1)}$ 表示接受狗子以后的潜在输出, $\mathit {Y(0)}$ 为采取不接受狗子后的输出.

2.1.2 Individual Treatment Effects#

因为有很多人, 我们使用 $\tau_i \triangleq Y_i(1) - Y_i(0)$ 来评估某个个体采取 treatment 之后的潜在输出结果.

NOTE

你可以观察接受狗子之后, 观察 $\mathit {Y(1)}$. 反之, 你可以不接受狗子来观察 $\mathit {Y(0)}$. 但是你不能同时观察到 $\mathit {Y(1)}$ 和 $\mathit {Y(0)}$ !!!! 这个问题就是 “Fundamental Problem of Causal Inference”

2.2.1 Ignorability and Exchangeability#

那么什么时候, 或者基于什么假设, 上式能够成立呢?

Assumption 2.1 Ignorability / Exchangeability

NOTE$$(Y(1) , Y(0)) \amalg T$$

当假设满足 Ignorability 的时候, 能够做到以下式子成立. 这里 Ignorability 指的是, 可以忽视缺失的数据.

上式表明 Y(1) 就只基于 T = 1 , 不受其他影响 , 即没有 confounder 的影响了. 如图:

这个假设也叫 Exchangeability, 表示说 $\mathbb{E}[Y(0) \mid T = 0] = \mathbb{E}[Y(0) \mid T = 1] = \mathbb{E}[Y(0) \mid t ]$ , 这其实就是说对于 group A 或者 group B, 把他们交换 treatment group 和 control group, 输出的结果只与 treatment 有关, 和 group A 或者 group B 没有关系 (尤其是 confounder). 也暗示着除了 treatment 的方式有区别, 不受其他影响.

Definition 2.1 Identifiability

NOTE

causal quantity (e.g. $\mathbb{E}[Y(t)]$) is Identifiable if we can compute it from a purely statistical quantity (e.g. $\mathbb{E}[Y \mid t]$)

这个 Identifiability 是说, 我们可以用 $\mathbb{E}[Y \mid t]$ 代替 $\mathbb{E}[Y(t)]$.

2.2.2 Conditional Exchangeability and Unconfoundedness#

实际中, 我们直接假设 group A 或者 group B 除了 treatment 的方式有区别, 不受其他影响. 但是这个不太现实, 明显是不合理的. 但是我们考虑, 如果可以控制一些条件, 让他们除了 treatment 方式有区别, 其他没有区别.

Assumption 2.2 Conditional Exchangeability / Unconfoundedness

NOTE$$(Y(1) , Y(0)) \amalg T \mid X$$

当假设满足 Conditional Exchangeability 的时候, 换句话说, 我们控制了 confounder X, 使得 group 基于同样的 confounder , 那这时去做 treatment, 就实现了 treatment 直接作用于 outcome, 不会因为潜在的 confounder 影响 outcome. 如图所示:

于是有以下公式成立:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[Y(1) - Y(0) \mid X] &= \mathbb{E}[Y(1) \mid X] - \mathbb{E}[Y(0) \mid X] \newline &=\mathbb{E}[Y(1) \mid T = 1, X] - \mathbb{E}[Y(0) \mid T = 0, X] \ (Ignorability) \newline &=\mathbb{E}[Y \mid T = 1, X ] - \mathbb{E}[Y \mid T = 0, X] \ (fix confounder) \end{aligned}$$

则:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[Y(1) - Y(0) ] &= \mathbb{E}_X[\mathbb{E}[Y(1) \mid X] - \mathbb{E}[Y(0) \mid X]] \newline &=\mathbb{E}_X[\mathbb{E}[Y(1) \mid T = 1, X] - \mathbb{E}[Y(0) \mid T = 0, X]] \ (Ignorability) \newline &=\mathbb{E}_X[\mathbb{E}[Y \mid T = 1, X ] - \mathbb{E}[Y \mid T = 0, X] ]\ (expect \ confounder) \end{aligned}$$

Conditional exchangeability (Assumption 2.2) is a core assumption for causal inference and goes by many names. For example, the following are reasonably commonly used to refer to the same assumption: unconfoundedness, conditional ignorability, no unobserved confounding, selection on observables, no omitted variable bias, etc.

$\textit{We will use the name “unconfoundedness” a fair amount throughout this book.}$

Theorem 2.1 (Adjustment Formula) Given the assumptions of unconfoundedness, positivity, consistency, and no interference, we can identify the average treatment effect:

NOTE$$\mathbb{E}[Y(1) - Y(0) ] = \mathbb{E}_X[\mathbb{E}[Y \mid T = 1, X ] - \mathbb{E}[Y \mid T = 0, X] ]$$

不过上述的式子还是有缺陷, 我们只是理想的假设 fixed confounder 是全部的, 但很多 confounder 都是潜在未知的, 我们实际不能保证 fix 住的 confounder 就是全部的, 这就会导致还是会有从 treatment -> confounder -> outcome 这条链路的影响存在.